Introducción a la Cosmología
1. Introducción
1.1. Principio Copérnicano o Principio Cosmológico
Friedmann propuso que el universo es homogeneo e isotrópico. Homogeneo: Que tiene la misma forma en todos lados. Isotrópico: Queno importa en què direcciòn se observe, el universo luce igual.
El CMB tiene ciertas fluctuaciones del orden de $10^{-5}$, sin embargo dichas perturbaciones son tan pequeñas que a grandes escalas $(\approx 300MPc)$ son despreciables.
2. La métrica de Robertson-Walker
La esfera es un elemento 2-dimensional inmersa en $\mathbb R^3$. En cosmología usamos la métrica de Robertson-Walker.
Que en coordenadas cartesianas está dada por:
\[d \vec{l}^2=d x_1^2+d x_2^2+\frac{\left(x_1 d x_1+x_2 d x_2\right)^2}{R^2-x_1^2-x_2^2}\]Mientras que en coordenadas polares para una 2-esfera:
\[\begin{aligned} & x_1=r^{\prime} \cos \theta \quad x_2=r^{\prime} \operatorname{sen} \theta \\ & d \vec{l}^2=\frac{R^2 d r^{\prime 2}}{R^2-r^{\prime 2}}+r^{\prime 2} d \theta^2 \end{aligned}\]Haciendo un cambio de variable, siendo: $r = r’/R$ entonces la métrica para una 2-esfera es:
\[\overrightarrow{d l}^2=R^2\left\{\frac{d r^2}{1-r^2}+r^2 d \theta^2\right\}\]Sin embargo, para cosmologìa ocupamos más coordenadas, en concreto necesitamos agregar el tiempo y el ángulo $\phi$.
\[\begin{aligned} & d s^2=d t^2-R^2(t)\left\{\frac{d r^2}{1-k r^2}+r^2 d \theta ^2+ r^2 \operatorname{sen}^2 \theta d^2 \phi\right\} \end{aligned}\]Debemos tomar la métrica de Robertson-Walker y las ecuaciones de Einstein y encontrar las ecuaciones de campo.
3. Ecuación de la geodésica
4. Corrimiento al rojo
En una geometría simple donde el universo es estàtico y se encuentra en expansión acelerada es fácil e intuitivo medir distancias. Sin embargo, estamos en un universo en expansión, la longitud de onda se va haciendo más grande debido a la expansión de universo, por lo que si me mandan una onda azul la voy a recibir en rojo. Definimos al Corrimiento al rojo como:
\[z=\frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_0}=1-\frac{\lambda_1}{\lambda_0}=1-\frac{R(t_1)}{R(t_0)}\]Tal que, tenemos que el factor de escala está dado por:
\(a=\frac{1}{1+z}\) Cuando $z$ igual a 1 el universo tenía la mitad de su tamaño, cuando $z=2$ el universo tenía un tercio de su tamaño.
El tiempo t es un parámetro de evolución.
$L$ es la energía que emite un cuerpo celeste, que se distribuye uniformemente en todas direcciones, sin embargo, nosotros sólo podemos observar una pequeña porción, es por ello que definimos a $L$ en tèrminos de la energía luminosa querecibimos mediante la porción de energía que recibimos $F$ multiplicada por el área:
\[L= 4\pi d_L^2 \times F\]Sin embargo, esto solo funciona para distancias cortas donde la expanción del universo puede despreciarse, sin embargo, para distancias grandes se ve modificada por la expansión del universo. Definimos a $d_L$ la distancia luminosa como:
\[d_L =Rr_0 (1+z)\]Si expandemos $R(t)$, el radio de expansión del universo, en una serie de Taylor para $H_0(t-t_0)$ obtenemos que el parámetro de Hublle está dado por:
\(H_0= \frac{\dot R(t_0)}{R(t_0)}=\frac{\dot a(t_0)}{a(t_0)}\) Con $\dot R(t_0)$ la velocidad de expansión del universo, y $\ddot{R}(t_0)$ la aceleración de la expansión del universo.
\(q=-\frac{\ddot{R}(t_0)}{\dot R^2(t)}R(t)\) Con $q(t)$ la “desaceleración del universo”.
La ley de Hubble solo se cumple para distancias lumniosas pequeñas.
\[z=H_0d_L\]Para medir distancias siempre se debe recurrir al modelo.
Modelo fiducial: Lambda Cold Dark Matter, se ocupa para comparar con nuevos modelos.
Lunes 4 de Noviembre
#Aproximación de LowRow
La siguiente aproximación solo es válida cuando épsilon y phi son demasiado pequeñas.
\[\begin{align} {\color{FFFFFF}H^{2}=\frac{\pi_{r}}{3 m_{l}^{2}} v} \end{align}\] \[\begin{align} {\color{FFFFFF}3 H \dot{\varphi}=-V_{\varphi \varphi}} \end{align}\] \[\begin{align} {\color{FFFFFF}\eta=\frac{V_{r p q}}{3 H^{2}}} \end{align}\]Derivando la Ec. 2
\[\begin{align} {\color{FFFFFF}3 \dot{H} \dot{\varphi}+3 H \dot{\varphi}=-V_{1 \varphi \varphi} \dot{\varphi}} \end{align}\] \[\begin{align}\dot{\phi}=-\frac{H}{H} \dot{\varphi}+\frac{V, \varphi \varphi}{3 H} \dot{\phi} \end{align}\] \[\begin{align} {\color{FFFFFF}\Rightarrow V_{\phi \varphi}=-\frac{3 H \dot{\phi}}{\phi}-\frac{3 H}{H} \dot{H}} \end{align}\]Luego sea \(d_{1V} = -Hdt\)
\[\]Recordando la ecuación de Friedman: …