Cuerpo rígido

Teoría

Ejercicio 1

Una esfera de radio R y masa M descansa sobre el borde de una esquina. Al comenzar a rodar el rozamiento entre la esquina y la esfera es suficiente para evitar el desplazamiento. Determine el ángulo \(\alpha\) y la velocidad angular cuando la esfera abandona el borde.

Expresando newton en coordenadas polares. Para la componente radial se tiene:

\[\tag{1}-mR\dot{\alpha}^2=N-mgcos\alpha\]

Mientras que para la componente angular:

\[\tag{2}mR\ddot{\alpha}=mgsin\alpha-F_r\]

Al aplicar una torca en el punto de rotación, es decir, la esquina:

\[|\tau|=Rmgsin\alpha=I\ddot{\alpha}\]

Ejes Paralelos:

Por ejes paralelos sabemos que \(I=I_{cm}+md^2\) con d la distancia entre los dos ejes.

Por lo que el momento de inercia de la superficie de la esfera está dada por:

\[I=\frac{2}{5}mR^2+mR^2=\frac{7}{5}mR^2\]

Sustituyendo en la ecuación de la torca y despejando:

\[\ddot{\alpha}=\frac{5}{7}\frac{gsin\alpha}{R}\]

Por regla de la cadena:

\[\dot{\alpha}\frac{d\dot{\alpha}}{d\alpha}=\frac{5}{7}\frac{gsin\alpha}{R}d\alpha\]

Integrando:

\[\int_0^{\dot{\alpha}}\dot{\alpha}d\dot{\alpha}=\int_0^{\alpha}\frac{5}{7}\frac{gsin\alpha}{R}d\alpha\] \[\frac{\dot{\alpha}^2}{2}=\frac{5}{7}\frac{g}{R}(1-cos\alpha)\]

Despejando:

\[\tag{3}\dot{\alpha}^2=\frac{10g}{7R}(1-cos\alpha)\]

Sustituyendo en la ec. 1 cuando \(N=0\), es decir cuando, la esfera abandona el borde, tenemos que:

\[\frac{10\cancel{-mgR}}{7\cancel{R}}(1-cos\alpha)=\cancel{-mg}cos\alpha\] \[\frac{10}{7}(1-cos\alpha)=cos\alpha\] \[1=\frac{17}{10}cos\alpha\implies cos\alpha=\frac{10}{17}\] \[\therefore \alpha=cos^{-1} (\frac{10}{17}) \approx53.968\]

Finalmente, sustituyendo en la ec. 3 y despejando \(\dot{\alpha}\):

\[\dot{\alpha}=\sqrt{\frac{10g}{7R}(1-\frac{10}{17})}\] \[\therefore \dot{\alpha}=\sqrt{\frac{10g}{17R}}\]