Operadores Hermitianos
Preliminares
Para poder asignar una interpretación probabilística a la mecánica cuántica se opera siempre con funciones cuadrado integrables.
De modo que para toda \(\psi (r,t)\) se cumpla que:
\[\int_{\mathbb {R} ^{3}}~|\psi |^{2}dV < \infty\]Es decir, funciones tal que la integral exista.
Conceptos importantes de probabilidad
La expresión para el valor esperado o promedio de un observable A es:
\[<A>_{\psi_n} := (\psi_n, \hat{A} \psi_n)=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n^*(x)\hat{A} \psi_n (x)dx\]La raíz de la desviación cuadrática media caracteriza la dispersión de la medición en torno al valor promedio \(<A>\), mientras más alta sea, indica que los valores están dispersos en un rango más amplio. Para un estimador insesgado, la RDCM es la desviación estándar.
\[\sigma [A]:=\sqrt{<A^2>-<A>^2}\]La varianza es el cuadrado de \(\sigma[A]\) es decir:
\[Var[A]:= <A^2>_{\psi_n} - <A>_{\psi_n}^2\]Finalmente, la incertidumbre \(\Delta A\) de un observable A es la raiz cuadrada de la varianza:
\[\Delta A = \sqrt{<A^2>-<A>^2}\]Operadores lineales
Las variales dinámicas(psición, momento, etc.) tienen un operador asociado que opera en el espacio de Hilbert.
Espacio de Hilbert:
Espacio vectorial toplógico donde todas las sucesiones de Cauchy son convergentes.
Sea \(U\) el conjunto de operadores lineales que van del espacio de Hilbert al espacio de Hilbert. Y dados dos operadores \(\hat{A}, \hat{B} \in U\) Se tiene que:
- \[(\^{A} + \^{B})\psi : \equiv \^{A} \psi + \^{B} \psi\]
- \[(c\^{A})\psi : \equiv c(\^{A}\psi)\]
Los operadores lineales no son siempre acotados, i.e. hay veces en las que se pueden salir del espacio, sin embargo, nos limitaremos a trabajar con aquellos que si están acotados.
Para cualquier operador se cumple que:
\[<A>_\psi = (\psi, \hat{A}\psi) = \hat{A}\psi\]El cual es el valor esperado del operador \(\hat{A}\) en el estado \(\psi\).
El operador adjunto está definido como:
\[(\psi, \hat{A}^\dag \phi)=( \hat{A}^\dag \psi,\phi)\]El operador \(\hat{A}\) se le dice Hermitiano cuando:
\[(\psi, \hat{A}\psi)=( \hat{A}\psi,\psi)\]Los operadores asociados a variables dinámicas deben ser hermitianos. Tanto la suma de operadores hermitianos \(\hat{A}+\hat{B}\) como la enésima potencia de un operador hermitiano \(\hat{A}^n\), son hermitianos.
Teorema 1:
Los eigenvalores de cualquier operador hermitiano son reales. En otras palabras: Sea \(\hat{A}\) hermitiano se tiene que \(\hat{A}\phi=a\phi \implies a=a*\)
Teorema 2:
Los eigenvectores \(\psi,\phi\) correspondientes a eigenvalores distintos de un operador hermitiano son ortogonales. Es decir, \(\psi \perp \phi\)
-
Operador posición:
\[\hat{X} \psi = x \psi\] -
Operador momento:
\[\hat{P} \psi = -i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}\] -
Operador energía cinética:
\[\hat{K}\psi = \frac{1}{2m} \hat{P}^2\psi\] -
Operador energía potencial:
\[\hat{V} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\hat{x}^n}{n!}\]
Operador energía:
Podemos definir al operador Hamiltoniano como el operador asociado a la energía \(\hat{H}:= \hat{K} + \hat{V}\) tal que: \(\hat{H}=i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (r,t)\)
Cada operador cuántico tiene cierta incertidumbre que varía de manera distinta. A continuación se muestran las incertidumbres de la posición y del momento, calculados a partir de la definición de varianza.
\[\Delta X_{\psi_n}= L \sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}\] \[\Delta P_{\psi_n} = \frac{\pi\hbar}{L}n\]Por lo que, al multiplicar ambos tenemos que:
\[\Delta X_{\psi_n}\Delta P_{\psi_n}= \frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}>\frac{\hbar}{2}\]