Un curso de
RELATIVIDAD GENERAL
7 mo semestre de Licenciatura
Por:
María Fernanda Martínez Vázquez
Basado en la clase de R.G. Impartida por: Dr. Alfredo Lopez Ortega.
\[\begin{gathered} \mathrm{Si} V^{\alpha}=\left(V^{0}, V^{1}, V^{2}, V^{3}\right) \\ V_{\alpha}=\left(V_{0}, V_{1}, V_{2}, V_{3}\right)=\left(-V^{0}, V^{1}, V^{2}, V^{3}\right) \end{gathered}\]En Minkowski en coordenadas cartesianas sólo se debe cambiar el signo de la componente temporal.
Recordando que en Minkowski en coordenadas cartesianas:
\[\eta_{\alpha \beta}=\hat{e}_{\alpha} \cdot \hat{e}_{\beta}\]Análogamente para $\mathbb{R}^{3}$
\[\begin{gathered} \hat{e}_{i} \cdot \hat{e}_{j}=\left\{\begin{array}{c} \hat{e}_{x} \cdot \hat{e}_{x}=\hat{e}_{y} \cdot \hat{e}_{y}=\hat{e}_{z} \cdot \hat{e}_{z}=1 \\ 0, \text { en cualquier otro caso } \end{array}\right. \\ \hat{e}_{i} \cdot \hat{e}_{j}=\delta_{i j} \\ \delta^{i j} \delta_{i k}=\delta_{k}^{i} \\ \delta_{i j}=\operatorname{diag}(1,1,1)=\delta^{i j} \end{gathered}\]Esto implica que las coordenadas entre los colectores y los vectores correspondientes no cambian, por eso el gradiente se ve como un vector en $\mathbb{R}^{3}$ y coordenadas cartesianas, sin embargo, estrictamente es un covector.
En $\mathbb{R}^{2}$ en Coordenadas Cartesianas:
\[\begin{gathered} \tilde{d} \phi=\left(\partial_{x} \phi, \partial_{y} \phi\right) \\ (\tilde{d} \phi)_{i} \delta^{i j}=(\tilde{d} \phi)^{j}(\tilde{d} \phi)^{i}=(\tilde{d} \phi)_{k} \delta^{k i} \end{gathered}\]Para $\mathbb{R}^{2}$ en Coordenadas Polares:
\[\tilde{p} \cdot \tilde{q}=\frac{1}{2}\left((\tilde{p}+\tilde{q})^{2}-(\tilde{p})^{2}-(\tilde{q})^{2}\right)\]Toman un covector y producen un número. $\vec{V}(\tilde{P})$ sea un número DEF: $\vec{V}(\tilde{P})=\tilde{P}(\vec{V})=P_{\alpha} V^{\alpha}$ Componentes: El vector actuando sobre los vectores base del EVD $\left{\vec{\omega}^{\alpha}\right}$
Tensores $\binom{3}{0}$ forman un espacio vectorial con dimensión 64.
\[\vec{V}\left(\vec{\omega}^{\alpha}\right)=V^{\alpha}\]Sean V,W vectores su producto tensorial.
\[\text { Base }\left\{\hat{e}_{\alpha} \otimes \hat{e}_{\beta}\right\}\]Martes 15 de Octubre de 2024
Tensores tipo $\binom{M}{N}$
- Son objetos con $(M+N)$ argumentos.
- Lineal en cada argumento.
- Evaluando en M covectores, N vectores produce un número.
- Los tensores son las funciones escalares.
- Sus componentes tienen M superíndices y N subíndices.
Tensor $\binom{3}{2}$ Podemos expresar a un tensor tres-dos como sigue:
\[\overleftrightarrow{T}\left(\tilde{\omega}^{\alpha}, \tilde{\omega}^{\beta}, \tilde{\omega}^{\gamma}, \hat{e}_{\mu}, \hat{e}_{\nu}\right)=T_{\mu \nu}^{\alpha \beta \gamma}\]Los tensores tienen una ley de transformación bien definida. Caso de un tensor $\binom{1}{1}$
\[\begin{gathered} R_{\bar{\beta}}^{\bar{\alpha}}=\Lambda_{\lambda}^{\bar{\alpha}} \Lambda_{\bar{\beta}}^{\sigma} R_{\sigma}^{\lambda} \\ \Lambda \rightarrow \frac{\partial x}{\partial x} \quad \begin{array}{l} \text { Transformación Lineal } \\ \frac{\partial \psi(x, y)}{\partial x}=0 \end{array} \end{gathered}\]$+++$
Hay cantidades físicas cuya ley de transformación no nos permite decir que son invariantes aunque no sean vectores, es decir, hay cantidades que no son ni escalares ni vectores y se transforman como tensores. Ejemplo de ello es el tensor de energía
Tensor de Energía Momento.
Es un tensor dos-cero tal que sus componentes son: \(T^{\alpha \beta}=\overleftrightarrow{T}\left(\tilde{d} x^{\alpha}, \tilde{d} x^{\beta}\right)=\left\{\right\}\) es el flujo de la componente “ \(p^{\alpha}\) “a través de “ \(x^{\beta}=c t e .\)” \(T^{o i}\) es el flujo de energía a través de \(x^{i}=c t e\)
\[T^{x o}\]Tensor Energía momento para polvo En el Sistema de Referencia Comóvil \(\nabla^{2} \phi=4 \pi G \rho_{m}\) \(\rho=>\)densidad de energia
En RG no sólo la densidad de masa produce campo gravitación sino también los flujos, la densidad de energía y la densidad de momento. En RG el tensor de energía momento es la fuente del campo gravitacional.
Martes 29 de Octubre del 2024
#….
#El polvo y un fluido perfecto.
Para un fluido perfecto,el tensor de energía momento es:
\[T_fp ^\alpha\beta = (\rho+P)U^\alpha U^\beta+ P\eta^{\alpha \beta}\] \[T_{polvo}^{\alpha \beta}=\rho U^{\alpha}U^\beta\] \[T_{vacio}^{\alpha\beta}=0\]#…
Jueves 31 de Octubre del 2024
Los astrónomos habían llegado a la conclusón de que todas las estrellas eran estables indpendeintemente de su masa. Sin embargo, un astrónomo, sir. Anton Edington y un estudiante se preguntó que consecuencias tiene la teoría de RG sobre la evolución estelar.
\((\rho + P)a_i+P_{ij}=0\) (Ec. de Euler) \(\rho \vec{a} = -\nabla \vec{P}\)
Está última no funciona para explicar la verdadera evolución estelar, la anterior y más general sí.
Debe llegar un momento en la que la presión ya no es suficiente. Por lo que hay un limite a la masa de una estrella, conocido como el límite de Shanderseker.
1er parcial 12 de Noviembre (1,2 y 3) 2do parcial 19 de diciembre (4,5 y 6) 3er Parcial Ma 14 de enero (7 y 8)
No se ve el 4.8: Ley de Gauss
#Capítulo 5: Prefacío a Curvatura
Hasta ahora solo hemos visto relatividad especial, en la RS las fuerzas las fuerzas juegan un papel secundario, y jamás hemos introducido a la gravedad como una fuerza interactuante.
En el capítulo 5 verémos la geometría diferencial desde el punto de vista más simple y útil para RG. Y justificaremos por qué la gravedad es la manifestación de la curvatura del espacio-tiempo.